Шмелев В.Е., Сбитнев С.А. "ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ" "ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ"Глава 2. Электростатическое поле W 2.1. Основные уравнения электростатики Электростатическим называют постоянное поле неподвижных электрических зарядов. Источниками электростатического поля являются свободные электрические заряды и электрические диполи. В электростатическом поле отсутствует сторонняя составляющая напряженности электрического поля Ec. В соответствии со сказанным уравнения электростатики в интегральной форме имеют вид Уравнения электростатики в дифференциальной форме (1) В случае линейных изотропных диэлектрических свойств среды уравнение материальной связи между векторами E и D имеет вид: (2) Граничные условия для векторов электростатического поля На поверхности раздела сред, где или Pr изменяются скачком, справедливы следующие соотношения На поверхности проводящего тела Тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля непрерывна на любой поверхности раздела сред. Скачок нормальной составляющей вектора электрического смещения равен поверхностной плотности электрических зарядов. Скалярный электрический потенциал. Краевая задача анализа электростатического поля Поле вектора E является безвихревым, поэтому его можно представить в виде градиента некоторого скалярного поля (3) - скалярный электрический потенциал. Подставив соотношение (3) в (2), а затем (2) в (1), получим или (4) Уравнение (4) является уравнением электростатики относительно скалярного электрического потенциала. Это уравнение является основой для постановки краевой задачи анализа электростатического поля. Для обеспечения единственности решения уравнения (4) необходимо дополнить его граничными условиями для искомого потенциала или для нормальной составляющей вектора электрического смещения на поверхности, ограничивающей расчетную область, т.е. = поверхностное распределение - на части граничной поверхности Г1, Dn = поверхностное распределение - на части граничной поверхности Г2, Г = Г1 + Г2 - замкнутая граничная поверхность. Первое граничное условие называется граничным условием первого рода (иногда его называют граничным условием Дирихле). Второе граничное условие называется граничным условием второго рода (иногда его называют граничным условием Неймана). Если задавать только граничные условия Неймана, то единственность решения будет обеспечена только с точностью до постоянной (однородной) составляющей скалярного поля . В случае однородного распределения диэлектрической проницаемости среды и вектора остаточной поляризованности среды уравнение (4) может быть записано в виде или (5) Если в расчетной области свободные заряды отсутствуют, то или (6) (5) называется уравнением Пуассона, (6) называется уравнением Лапласа. Для уравнений (5) и (6) граничное условие Неймана может задаваться в виде распределения нормальной производной скалярного электрического потенциала на части граничной поверхности Г2. Скалярная краевая задача электростатики в пакетах расширения MATLAB В системе MATLAB имеются пакеты расширения, предназначенные для решения скалярных краевых задач, основанных на уравнениях вида (4). В практике инженерных расчётов чаще всего решаются двумерные и трёхмерные задачи электростатики. При двумерном моделировании можно рассчитывать плоскопараллельные и осесимметричные поля (поля многопроводных систем: кабельных и воздушных линий и коридоров линий). Двумерный вариант уравнения (4) без учёта векторного поля остаточной поляризованности вещества может решаться средствами PDE Toolbox MATLAB (продукт фирмы MathWorks). Электростатические задачи могут решаться также в системе конечноэлементных расчётов FEMLAB, которая также представляет собой пакет расширения MATLAB, но не входит в стандартную комплектацию MATLAB и поставляется отдельно. Разработчик этого пакета - шведская фирма Comsol. Применительно к задачам электростатики FEMLAB отличается от PDE Toolbox тем, что в FEMLAB есть возможность учесть распределение вектора остаточной поляризованности вещества, есть также возможность решать трёхмерные задачи. В системе FEMLAB есть средства расчёта интегральных параметров поля: зарядов, напряжений, энергии поля, ёмкостных коэффициентов и др. Энергия системы заряженных проводников Энергия электростатического поля системы заряженных проводников равна , т.к. с ростом радиуса замкнутой поверхности произведение убывает быстрее, чем растет площадь поверхности (в наихудшем случае произведение является бесконечно малой величиной третьего порядка, а площадь поверхности интегрирования - бесконечно большой величиной второго порядка). (7) - потенциал i-го - проводника, qi - заряд i -го - проводника. Формула (7) справедлива, если . В противном случае формула (7) справедлива, если (сумма зарядов всех тел системы равна нулю). Понятие о методе изображений При анализе электростатических полей обычно требуется определить распределение векторов E, D а также распределение скалярного электрического потенциала, если известны форма и расположение проводников и диэлектриков и неоднородные граничные условия: а) потенциалы проводников; б) суммарный заряд каждого проводника, потенциал которого неизвестен. Решение, удовлетворяющее уравнению (4) и вышеназванным граничным условиям, является единственным. Из этой теоремы, которую называют теоремой единственности, вытекают два важных следствия. Следствие 1. Электрическое поле (и соответствующее ему решение) в некотором объеме, ограниченном равнопотенциальными поверхностями, не изменится, если эти поверхности станут проводящими, т.е. превратятся в границы проводников, которым сообщены соответствующие потенциалы. Следствие 2. Электростатическое поле по одну сторону от поверхности S (не обязательно равнопотенциальной) не изменяется, если по другую сторону этой поверхности изменить параметры среды и распределение зарядов так, чтобы сохранились граничные условия на поверхности S. Вновь распределенные заряды называются изображениями преобразованных зарядов, а основанный на таком преобразовании метод расчета - методом изображений. Оба следствия из теоремы о единственности позволяют значительно расширить область применения интегральных форм уравнений электростатики для расчета полей. Фундаментальное решение уравнений Пуассона и Лапласа Фундаментальным решением этих уравнений является частное решение, соответствующее распределению скалярного электрического потенциала в бесконечной линейной однородной среде вокруг точечного электрического заряда при открытых граничных условиях : , где R - расстояние между точечным зарядом и точкой наблюдения. Если в расчетной области известно распределение объемных и поверхностных зарядов, а также вектора диэлектрической поляризованности вещества, то распределение скалярного электрического потенциала может быть определено по формуле (8) Как правило, при анализе сложных электростатических полей распределение зарядов и поляризованности вещества неизвестно, поэтому прямое применение формулы (8) невозможно. В этом случае формула (8) используется в качестве основы для построения интегральных методов анализа электростатических полей. Контрольные вопросы 1. Что такое электростатическое поле? 2. Какой вид имеют
Комментариев нет:
Отправить комментарий